Le Zéro #3276007 Le Nombre 0 Auteur: Non communiqué Obédience:Non communiqué Loge: Non communiqué Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / ***Nouveautés=> ORIENTATION GÉNÉRALE– M’écrire– Édition du:14/01/2009Débutants– Ý –Dictionnaire des nombresZéroGlossaire<<< InfiniUn >>>Pages du0Le 0 pour débutantIndex 0Carte Identité 0Concept 0Infini & zéroCulture 0Expressions en 0Histoire 0Arithmétique 0Algèbre 0Sciences 0Divers 0Proverbes avec 0Zéro en quizJeux & Curiosités 0Sommaire des pages du 0>>>ZéroPourquoi dans cemonde, même les zéros,pour valoir quelquechose,doivent-ils être à droite ?0Zéro,c’est un nombre rondVoir HumourCARTE D’IDENTITÉ0RepèresMnémotechniqueASMorse–––––ÉcritureBraille– Classique0. ·– Éviter confusion avec la lettre OLe rond barré est une lettre scandinaveÆ··– Maths: ensemble videÆ..– Tableur, selon spécifications0, – , rien0– Notation en O non fermé, parfois utilisée pour éviter la confusion avec la lettre OArithmétiqueFacteurs0Nombre entierNi premier, ni composéPair Explications>>>0Numération§§0ØØEmployé seul, zéro indique rien, vide>>>§§105 & 15ØØLe zéro marque la place vide dans notre manière de compter>>>§§24 => 240ØØUn 0 à droite, et le nombre est multiplié par 10>>>Nombre§§…, -2, -1, 0, 1, 2 …ØØCharnière entre les nombres positifs et les nombres négatifs>>>Arithmétique§§a+ 0 = a§§ax 0 = 0§§a/0absolument interdit !ØØAttention aux opérations avec 0>>>Algèbre§§ax² + bx + c = 0ØØÉquations: l’habitude consiste à rendre nul le membre de droite§§f(x) = 0ØØ Le zéro d’une fonction en x est la valeur de x pour laquelle la fonction s’annuleØØLe zéro d’un polynôme est sa racinevvRacine et zéro sont synonymes>>>ØØLa fonction zéro est une fonction qui vaut toujours zéroTrigonométrie§§Sin (0°) = cos (90°) = 0ØØValeurs trigonométriques>>>–Ý–0Ensemble§§x+ e = xØØÉlément neutre e d’un groupe dont la loi est additivevvGénéralisation de l’effet du 0 de l’addition classique à d’autres ensembles>>>§§Card(Æ) = 0ØØZéro est le cardinal de l’ensemble videvvLa quantité d’objets dans un ensemble vide est 0>>>§§Ensemble des nombres rationnels QØØEnsemble de tous les nombres réelsp/q où p et q sont des entiers relatifs avec q non nulLa définition exclut n / 0 et 0 / 0Probabilit駧P(x) = 0ØØÉvénement impossible, qui ne peut jamais se produire>>>Logique§§0, 1ØØL’une des deux valeurs binaires de la logique>>>GéométrieØØLa dimension du point est 0; celle d’une droite est 1§§{0, x, y, z}ØØOrigine des mesures sur les systèmes d’axes>>>GéographieØØOrigine des repères géographiques: longitude, latitudeØØZéro hydrographique: niveau de la mer§§Ground ZeroØØLieu où se trouvaient les tours jumelles de NewYork, objet des attentats du 9 septembre 2001>>>–Ý–PhysiqueØØÉnergie du vide>>>§§0°CØØPoint zéro: température de la glace fondante>>>§§0°K = – 273,16 °CØØZéro absolu>>>CalendrierØØL’année 0 n’existe pas>>>ÉtymologieØØSunia, Sifr, Zephirum …vvLe nombre 0 est une invention des Indiens, importée en Europe par les Arabes>>>LinguistiqueØØLa boule à zéro, tout reprendre à zéro …>>>NumérologieØØLe zéro est l’origine primitive de toute chose>>>–Ý–Suite >>>Pour tous les détails voir les pages indiquées ci-dessousQuelques réponses à des questions classiques sur le ZÉROZéro est un nombre§§Les nombres donnent la réponse à la question: « combien y a-t-il d’objets »?ØØIl y en a 2, il y a 1, il n’y en a pas (0)ØØZéro doit donc être considéré comme un nombre§§Que zéro soit un nombre ou non est sans grand fondement dans la mesure où on décrète qu’il en fait partie, un point c’est tout. Comme quelqu’un qui appartient à un club ou non!Zéro entier non naturelWhole number or counting number/ natural number§§Les entiers naturels n’incluent pas le zéroØØCar, naturellement, on commence à compter à partir de un: 1 mouton, 2 moutons; s’il n’y a pas de mouton, on n’écrit rienØØHistoriquement, on faisait une encoche pour commencer à compter. ØØLes Romains ne connaissaient pas le zéro …§§Cette notion entiers / naturels n’a pas d’importanceØØEn maths, on utilisel’ensemble N (avec le 0) ou l’ensemble N* (sans le 0)Zéro ni positif ni négatif§§Zéro est au centre: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …Zéro est pair§§Un nombre n est pair s’il existe un nombre k tel que n = 2kØØAvec k = 0, n = 2 x 0 = 0 => 0 est pair§§Un nombre est pair s’il est divisible par 2; ce qui veut dire que le reste de la division est zéro ØØ0 divisé par 2 donne un reste de 0 => 0 est pair§§Selon la liste des nombresØØNombres naturels 1, 2, 3 …ØØNombres entiers 0, 1, 2, 3 …ØØNombres relatifs: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …Même si l’on faisait ces distinctions entre entiers et naturels, dans tous les cas 0 est pair§§La somme de deux nombres pairs et paireØØ0 + 2 = 2 => exact avec 0 => 0 est pairZéroNi premierNi compos駧Un nombre premier est seulement divisible par 1 et par lui-même ØØOr 0 est divisible par tout nombre (et donne 0), sauf par 0 (voir ci-dessous)ØØZéro n’est donc pas premier§§Un nombre composé est le produit d’au moins deux facteurs premiersØØOr, pour donner un produit égal à 0, il faut que l’un des facteurs soit 0, lequel n’est pas premierØØZéro n’est donc pas composéZéro est multiple de tout nombre§§Le nombre x est multiple de n, s’il existe un nombre k tel que: x = knØØDans notre cas x vaut 0ØØprenons n = 8ØØil existe bien un nombre k = 0 tel que 0 = 0 x 8ØØceci est valable pour tout autre nombre que 8Zéro est un carréou une puissanceou une racine§§Si 3 x 3 = 9 et que 3 = Ö9 alors 9 est le carré de 3§§Alors 0 x 0 = 0 donne 0 = Ö0 alors 0 est le carré de 0Division par zéron / 0indéfini§§Combien de fois 2 dans 8: réponse 4ØØcar 2 x + 4 = 8§§Combine de fois 0 dans 8: réponse ?ØØcar n x 0 = 0 toujours et jamais 8ØØà moins de dire qu’il s’agit de l’infini: mais alors cela crée le bazar dans les lois de calcul. ØØL’ensemble des réels R ne contient pas un individu tel que l’infiniØØLes mathématiciens préfèrent dire que cette fraction est indéfiniePreuve par l’absurde§§Prenons les fractions successives 1 / (1/n)ØØLe dénominateur devient proche de 0 lorsque n devient très grand, et la fraction complète devient elle aussi très grandeØØAdmettons que nous appelions infini la limite: 1 / 0 = ¥§§Prenons maintenant 1 / (-1/n)ØØLorsque n devient très grand la fraction donne un nombre négatif de plus en plus grand et la limite devient: 1 / 0 = – ¥§§En déclarant que 1 / 0 est indéfini, ce genre de contradiction est évité0 / 0indétermin駧N’est pas indéfini, mais indéterminéØØImpossible de lui donner une valeur à prioriØØNotion associée aux limites et qui dépend du contexte5x / x x ® 0 = 5Autres cas avec zéro>>>0 0indétermin駧Est indéterminé entre 0 et 1§§Est indéterminé entre 0 et 1ØØEn effet, voici trois exemples:– Avec 0 x = 0, alors 0 xx ® 0 = 0– Avec x 0 = 1, alors x 0x ® 0 = 1– Et pour 0 < x < 1, avec ( x n ) 1/n = x, alors ( x n ) 1/nn ®¥= ( 0 ) 0qui vaut aussi xØØOn peut encore ajouter––lim0 (1/n)n ®¥= 0––lim (1/n) 0n ®¥= 1ØØEtc.Autres cas avec zéro>>>-Ý-Voir§§Sommaire des pages du Zéro§§InfiniLivres§§Zéro – Denis Guedj – 2005§§Zéro – La biographie d’une idée dangereuse – Charles Seife – 2002 – Zero: the biography of a dangerous idea) Navigation des articles Planche Précédente "Du Zéro à l’Infini" Planche Suivante "Le nombre Zéro"
